エポスカードのアプリでは1日に1回、HIGH&LOWというトランプゲームをしてポイントゲットを狙うことができます。ミニゲームに勝利すると連続してゲームを続けられ、最高で3回まで行うことができます。勝てば勝つほどポイントが貯まりますが、途中で負けてしまうと今まで獲得したポイントを全て奪われてしまい社会の厳しさを知ることになる仕様になっています。何回目までやってやめたらよいか期待値を計算しようとしたところ、すでに同じことを考えている方が何人かいらっしゃいました。
ただ自分の計算方法に直感と若干の相違があり、改めて自分で計算し直してみることにしました。
ゲームルール
カードの間には序列が存在し、以下のような関係性が定義されています。
Joker > A > K > Q > J > 10 > 9 > 8 > 7 > 6 > 5 > 4 > 3 > 2
まず、場面に1枚のトランプカードが提示されます。そして2枚目に引かれるカードがそれよりもHIGHかLOWか選択します。勝てば1ポイント獲得でき、最大3回まで連続してゲームを行うことができます（やめることもできます）。負けてしまった場合はそれ以上ゲームを続けることはできず、それまで獲得したポイントは全て失われてしまいます。
実際にしばらくやってみた感想として、おそらくイカサマはないと思います。すなわち、1枚目のカードも2枚目のカードも完全ランダムでJokerから2まで出る確率は同じ（高校数学でよく耳にした同様に確からしいというやつですな）。
この仮定をもとに期待値を計算し、勝った場合に続けるべきかやめるべきかここで白黒はっきりさせたいと思います。
期待値の計算
全部で14枚あり、先ほどの仮定に基づくと1枚目のカードが9以上の場合はLOWにして8以下の場合はHIGHにすればよいです。それぞれの場合について勝つ確率をまとめます。
- 8, 9の場合：\(\frac{7}{13} \)
- 7, 10の場合：\(\frac{8}{13} \)
- 6, Jの場合：\(\frac{9}{13} \)
- 5, Qの場合：\(\frac{10}{13} \)
- 4, Kの場合：\(\frac{11}{13} \)
- 3, Aの場合：\(\frac{12}{13} \)
- 2, Jokerの場合：\(1 \)
以上より、1回のゲームで勝つ確率の期待値は
\(\frac{1}{7} \times \frac{7}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{8}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{9}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{10}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{11}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{12}{13} + \frac{1}{7} \times 1 = \frac{10}{13} \)
本ゲームの特徴は最初から何回ゲームをするか決めるわけではなく、勝つたびにゲームを続けるか聞かれる点にあると考えています。それが最初に言及した直感のズレにつながっている気がします。このゲームシステムを反映するために、それぞれの回における期待値を考えてみることにしました。
1回目
1回目は勝つと1ポイント、負けると特に何もありません。
\(1 \times \frac{10}{13} + 0 \times \frac{3}{13} = \frac{10}{13} \)
2回目
2回目は勝つと1ポイントもらえ、負けると1ポイント奪われます。
\(1 \times \frac{10}{13} + (-1) \times \frac{3}{13} = \frac{7}{13} \)
3回目
3回目は勝つと1ポイントもらえ、負けると2ポイント奪われます。
\(1 \times \frac{10}{13} + (-2) \times \frac{3}{13} = \frac{4}{13} \)
まとめ
以上の結果より回を追うごとにポイント増分の期待値は減っていくものの、いずれも期待値は正のため参加したほうが良いことがわかりました。3回目に負けた日には目の前にあった2ポイントを奪われたショックで立ち直れないこと多々ありますけれども、期待値を信じてメンタルを鍛え、3回目まで完遂できる精神力を身につけていきたいと思います！
